Дана окружность W с центром О точки M и N соответственно середине радиусов OA и OB окружности w. На окружности w выбраны точки E и F так сто хорда EF проходит через точки M и N Найдите отношение радиуса окружности w к длине хорды EF,если известно что EF:MN=4 В ответ запиши квадрат этого отношения.

Пусть радиус окружности W равен r, а длина хорды EF равна x.

Так как MN - середина радиусов OA и OB, то MN = r/2.

Из условия задачи имеем, что EF:MN = 4, то есть x : r/2 = 4, откуда x = 4r/2 = 2r.

Теперь найдем длину отрезка MF, который является половиной длины хорды EF: MF = x/2 = 2r/2 = r.

Таким образом, треугольник MOF является прямоугольным с гипотенузой r и катетом r/2, откуда по теореме Пифагора получаем, что MO = sqrt(r^2 - (r/2)^2) = sqrt(3r^2/4) = r*sqrt(3)/2.

Теперь рассмотрим треугольник MEF, в котором ME = MO + r = rsqrt(3)/2 + r = r(sqrt(3)/2 + 1).

Так как треугольник MEF также является прямоугольным, то по теореме Пифагора имеем: (EF/2)^2 = ME^2 - MF^2, где EF/2 = x/2 = r, ME = r*(sqrt(3)/2 + 1), MF = r.

Подставляем значения и находим квадрат отношения радиуса к длине хорды:

r^2 = (r*(sqrt(3)/2 + 1))^2 - r^2,

r^2 = r^2*(3/4 + sqrt(3) + 1) - r^2,

r^2 = r^2*(7/4 + sqrt(3)),

1 = 7/4 + sqrt(3),

1/4 = sqrt(3),

1/16 = 3.

Ответ: 1/16.