Дана окружность и с центром О. Точки М и N - соответственно середины радиусов ОА и Ов окружности ш. На окружности и выбраны точки Е и F так, что хорда EF проходит через точки М и N. Найдите отношение радиуса окружности и к длине хорды EF, если известно, что EF: MN = 5. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Пусть радиус окружности равен R, а длина хорды EF равна l.

Так как М и N - середины радиусов ОА и Ов, то МО = NO = R/2.

По условию, EF: MN = 5, то есть l: (R/2) = 5, откуда l = 5R/2.

Теперь воспользуемся теоремой о перпендикуляре, проведенном из центра окружности к хорде. Она гласит, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Таким образом, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде EF, делит хорду EF пополам, то есть длина отрезка, соединяющего центр окружности с серединой хорды EF, равна l/2 = 5R/4.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами R и 5R/4 и гипотенузой R. По теореме Пифагора:

R^2 = (5R/4)^2 + R^2

R^2 = 25R^2/16 + R^2

16R^2 = 25R^2 + 16R^2

16R^2 = 41R^2

R^2 = 16R^2/41

Ответ: 16/41.