Дана окружность и с центром О. Точки М и № соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности ш. На окружности ш выбраны точки Е и F так, что хорда EF проходит через точки МиN Найдите отношение радиуса окружности ш к длине хорды EF, если известно, что EF : MN = 5. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Пусть радиус окружности ш равен r, тогда длина хорды EF равна 10r (так как EF : MN = 5, а MN = r).

По теореме о касательных, угол между хордой и радиусом, проведенным к точке касания, равен углу, образуемому этой хордой на окружности. Таким образом, треугольники ОМЕ и ОМН подобны, поэтому

OE / OM = EM / MN

OE / r = EM / r

EM = OE

Аналогично, треугольники ОFV и ОVN подобны, поэтому

OF / r = FN / r

OF = FN

Таким образом, треугольники ОEF и ОMN подобны, и мы можем записать:

EF / MN = OE / OM

10r / r = OE / r

OE = 10

Теперь можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ОЕФ:

EF^2 = OE^2 + OF^2

(10r)^2 = 10^2 + OF^2

100r^2 = 100 + OF^2

OF^2 = 100r^2 - 100

Отношение радиуса к длине хорды:

r / 10r = 1 / 10

Квадрат этого отношения:

(1 / 10)^2 = 1 / 100

Ответ: 1 / 100.