Дана матрица A=⎡⎣⎢−5−15110−4209014⎤⎦⎥ Найдите собственные векторы этой матрицы, отвечающие собственным числам, отличным от λ=−5. Собственные векторы запишите в виде x1¯¯¯¯¯={0;1;A}, x2¯¯¯¯¯={0;1;B}. В ответ введите сумму чисел A+B.

Сначала найдем собственные числа матрицы A, решив уравнение det(A-λI)=0:

det⎡⎣⎢−5−λ−15110−4−λ209014−λ⎤⎦⎥=0 (−5−λ)((−4−λ)(14−λ)−18⋅9)−15(10(14−λ)−18⋅2)+11(10⋅9−(−4−λ)⋅2)=0 (−5−λ)(λ^2−10λ+14⋅4−18⋅9)+15(140−10λ−18⋅2)+11(90+4λ)=0 (−5−λ)(λ^2−10λ+56)+15(140−10λ−36)+11(90+4λ)=0 (−5−λ)(λ^2−10λ+56)+15(104−10λ)+11(90+4λ)=0 (−5−λ)(λ^2−10λ+56)+15⋅104−15⋅10λ+11⋅90+11⋅4λ=0 (−5−λ)(λ^2−10λ+56)+1560−150λ+990+44λ=0 (−5−λ)(λ^2−10λ+56)+2550−106λ=0 −λ^3+10λ^2−56λ+5λ^2−50λ+280+2550−106λ=0 −λ^3+15λ^2−156λ+2830=0

Решая это уравнение, найдем собственные числа: λ1=−5, λ2=15, λ3=20.

Теперь найдем собственные векторы, соответствующие собственным числам 15 и 20.

1. λ=15: (A-15I)x=0 ⎡⎣⎢−20−15110−4209014⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0x1x2⎤⎦⎥ −20x1−15x2=0 10x1−4x2=0 x1=2x2

Собственный вектор x1={2;1}.

2. λ=20: (A-20I)x=0 ⎡⎣⎢−25−15110−4209014⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0x1x2⎤⎦⎥ −25x1−15x2=0 10x1−4x2=0 x1=2x2

Собственный вектор x2={2;1}.

Сумма чисел A и B: A+B=2+1=3.

Ответ: 3.