дана функция f(x) = 4x/(x+3). указать наибольшее такое δ > 0, что при |x-1| < δ будет выполнено неравенство |f(x)-1| < 1/13

Для нахождения наибольшего такого δ > 0, что при |x-1| < δ будет выполнено неравенство |f(x)-1| < 1/13, нужно рассмотреть выражение |f(x)-1| и найти его максимальное значение.

|f(x)-1| = |4x/(x+3) - 1| = |(4x - (x+3))/(x+3)| = |(3x - 3)/(x+3)| = |3(x-1)/(x+3)|

Так как x ≠ -3 (иначе функция не определена), то можем сократить на (x-1):

|f(x)-1| = |3/(x+3)|

Теперь нам нужно найти максимальное значение выражения 3/(x+3) при |x-1| < δ. Для этого найдем точку, в которой это значение будет максимальным.

Поскольку x ≠ -3, то можем считать, что x+3 ≠ 0, и можем рассматривать только положительные значения x.

Посмотрим, при каком значении x значение 3/(x+3) будет максимальным. Для этого возьмем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

d(3/(x+3))/dx = -3/(x+3)^2

-3/(x+3)^2 = 0 3/(x+3)^2 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Таким образом, значение 3/(x+3) будет максимальным на границах интервала |x-1| < δ, то есть при x = 1 ± δ.

Подставим x = 1 ± δ в выражение 3/(x+3) и найдем максимальное значение:

|x-1| = δ

Тогда:

|f(1+δ)-1| = |3/(1+δ+3)| = |3/(4+δ)| = 3/(4+δ) |f(1-δ)-1| = |3/(1-δ+3)| = |3/(4-δ)| = 3/(4-δ)

Так как мы хотим, чтобы оба значения были меньше 1/13, то:

3/(4+δ) < 1/13 3/(4-δ) < 1/13

Решим эти неравенства:

3/(4+δ) < 1/13 39 < 4+δ 35 < δ

3/(4-δ) < 1/13 39 < 4-δ 43 > δ

Таким образом, наибольшее значение δ, при котором неравенство |f(x)-1| < 1/13 выполняется при |x-1| < δ, равно 35.