дана функция f(x) = 4x/(x+3). указать наибольшее такое δ > 0, что при |x-1| < δ будет выполнено неравенство |f(x)-1| < 1/13

Для нахождения наибольшего такого δ > 0, при котором будет выполнено неравенство |f(x)-1| < 1/13 при |x-1| < δ, нужно рассмотреть выражение |f(x)-1| и найти его максимальное значение.

Подставим функцию f(x) = 4x/(x+3) в выражение |f(x)-1|:

|f(x)-1| = |4x/(x+3) - 1| = |(4x - x - 3)/(x+3)| = |(3x - 3)/(x+3)| = |3(x-1)/(x+3)|

Теперь нам нужно найти максимальное значение выражения |3(x-1)/(x+3)| при |x-1| < δ.

Заметим, что при x = 1 значение выражения равно 0, поэтому нам нужно найти максимальное значение при x ≠ 1.

Для этого рассмотрим производную функции |3(x-1)/(x+3)|:

d/dx (|3(x-1)/(x+3)|) = 3*(x+3) - 3*(x-1) / (x+3)^2

Приравниваем производную к нулю:

3*(x+3) - 3*(x-1) = 0

3x + 9 - 3x + 3 = 0

12 = 0

Производная равна 0 при x = -3, что является точкой разрыва функции f(x).

Таким образом, максимальное значение выражения |3(x-1)/(x+3)| будет достигаться на границе интервала (x-1) < δ, то есть при x = 1 + δ.

Подставляем x = 1 + δ в выражение |3(x-1)/(x+3)|:

|3(1 + δ - 1)/(1 + δ + 3)| = |3δ/4| = 3δ/4

Теперь нам нужно найти такое δ, чтобы 3δ/4 < 1/13:

3δ/4 < 1/13

3δ < 4/13

δ < 4/39

Таким образом, наибольшее такое δ > 0, при котором будет выполнено неравенство |f(x)-1| < 1/13 при |x-1| < δ, равно 4/39.