Числа a1, a2... а9 таковы, что a1² + a2² + ... + a9² /a1+a2+... + a9 = 20. Какое наибольшее значение может принимать а₁?

Для нахождения наибольшего значения a₁, мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным:

(a₁² + a₂² + ... + a₉²) / 9 ≥ (a₁ + a₂ + ... + a₉)² / 9²

Из условия задачи мы знаем, что (a₁² + a₂² + ... + a₉²) / (a₁ + a₂ + ... + a₉) = 20. Подставим это значение в неравенство:

20 ≥ (a₁ + a₂ + ... + a₉)² / 9

Умножим обе стороны на 9:

180 ≥ (a₁ + a₂ + ... + a₉)²

Таким образом, сумма a₁ + a₂ + ... + a₉ не может превышать √180 = 13.42.

Для нахождения наибольшего значения a₁, рассмотрим случай, когда все остальные числа a₂, a₃, ... a₉ равны 1. В этом случае:

a₁ + 1 + 1 + ... + 1 = 13.42

a₁ = 13.42 - 8 = 5.42

Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать a₁, равно 5.42.