Человек (материальная точка) находится на горизонтальной платформе-диске (скамье Жуковского), способной вращаться без трения относительно вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы массой 100 кг, делающей 5 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет в центр платформы?

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Изначально момент импульса системы (человек + платформа) равен сумме моментов импульса отдельных частей:

L1 = I1 * ω1 + m1 * r1 * v1

где I1 - момент инерции платформы, ω1 - угловая скорость платформы, m1 - масса платформы, r1 - расстояние от центра платформы до человека, v1 - линейная скорость человека.

Когда человек перейдет в центр платформы, его расстояние до оси вращения уменьшится до нуля, поэтому его момент импульса также уменьшится:

L2 = I2 * ω2

где I2 - момент инерции платформы после того, как человек перешел в центр, ω2 - угловая скорость платформы после этого.

Так как момент импульса должен сохраняться, то L1 = L2:

I1 * ω1 + m1 * r1 * v1 = I2 * ω2

Поскольку момент инерции платформы не изменяется, то I1 * ω1 = I2 * ω2, и мы можем записать:

m1 * r1 * v1 = I2 * (ω1 - ω2)

Так как v1 = r1 * ω1 (линейная скорость человека равна произведению радиуса платформы на угловую скорость платформы), то:

m1 * r1^2 * ω1 = I2 * (ω1 - ω2)

Так как момент инерции платформы I2 = m1 * r1^2, то:

m1 * r1^2 * ω1 = m1 * r1^2 * (ω1 - ω2)

Отсюда получаем:

ω2 = 0

Это означает, что угловая скорость платформы после того, как человек перешел в центр, будет равна нулю. Следовательно, платформа перестанет вращаться.