12 В углу двора дома решили сделать навес в виде четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит квадрат. Навес может быть сделан так: в основании металлическая рама квадратной формы и в одной из вершин квадрата установлен металлический столбик перпендикулярно плоскости основания. Затем натягивается тканевый тент, который соединяет вершину вертикального столбика и две не смежные с ним стороны основания. Найдите площадь тента, если плоскости тента наклонены к плоскости основания пирамиды под углом в 30°, а длина вертикального столба равна 2.

Для решения задачи нам нужно найти высоту пирамиды, а затем площадь тента.

Высота пирамиды равна высоте треугольника, образованного вертикальным столбиком и одной из сторон основания. Так как у нас квадратное основание, то высота пирамиды равна высоте треугольника, образованного диагональю квадрата и вертикальным столбиком. По теореме Пифагора длина диагонали квадрата равна $a\sqrt{2}$, где а - длина стороны квадрата. Таким образом, высота пирамиды равна $a\sqrt{2}$.

Теперь найдем длину стороны квадрата. Разделим квадрат на два равнобедренных треугольника, образованных диагональю. Так как угол между диагональю и одной из сторон квадрата равен 45°, то длина стороны квадрата равна $2h\sqrt{2}$, где h - высота пирамиды.

Теперь найдем площадь тента. Площадь тента равна площади треугольника, образованного вертикальным столбиком, стороной квадрата и линией, соединяющей вершину вертикального столбика с серединой несмежной стороны квадрата. Угол между этой линией и стороной квадрата равен 30°, поэтому площадь треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где a - длина стороны квадрата, h - высота пирамиды.

Подставляем значения и получаем:

$a = 2h\sqrt{2}$

$h = a\sqrt{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2h\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = 2h^2$

$S = 2 \cdot (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 \cdot 2 = 4a^2$

Таким образом, площадь тента равна $4a^2$, где a - длина стороны квадрата.