. В треугольнике ABC проведена высота AK. H точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos∠CAB=4/5, cos∠ABC=7/25. Для вашего удобства мы посчитали косинус третьего угла cos∠BCA=44/125. Найдите AH/HK.

Для начала найдем синусы углов треугольника ABC, используя формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^2(∠CAB) = 1 - cos^2(∠CAB) = 1 - (4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25 sin(∠CAB) = √(9/25) = 3/5

sin^2(∠ABC) = 1 - cos^2(∠ABC) = 1 - (7/25)^2 = 1 - 49/625 = 576/625 sin(∠ABC) = √(576/625) = 24/25

Теперь найдем синус угла ∠BCA, используя формулу синуса угла, противолежащего стороне, деленный на длину этой стороны:

sin(∠BCA) = sin(∠CAB) * sin(∠ABC) / sin(∠CBA) = (3/5 * 24/25) / (44/125) = 72/125

Теперь найдем длину стороны BC, используя теорему косинусов:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠ABC) BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 * 1 * 1 * (7/25) = 2 - 14/25 = 36/25 BC = √(36/25) = 6/5

Теперь найдем длину отрезка AH:

AH = BC * sin(∠CAB) = (6/5) * (3/5) = 18/25

Теперь найдем длину отрезка HK:

HK = BC * sin(∠BCA) = (6/5) * (72/125) = 432/625

Итак, AH/HK = (18/25) / (432/625) = (18/25) * (625/432) = 75/24 = 25/8.

Ответ: AH/HK = 25/8.